Divisibilidade III

Divisibilidade por 10.

Um número é divisível por 10 quando termina com o algarismo 0. Por exemplo: o número 190 é divisível por 10, pois termina com o algarismo 0. Logo 190 / 10 = 19. Outros exemplos:
140 / 10 = 14
1280 / 10 = 128
25840 / 10 = 2584

Divisibilidade II

Continuando as dicas relacionadas aos critérios de divisibilidade.

Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4, quando termina em 00, ou o número formado com seus 2 algarismos da direita for divisível por 4.
Exemplo: Será que o número 48 é disível por 4? Para testar sua confiança... o número 48 é divisível por 4, sim, pois 48/4 é 12. Agora vamos testar a propriedade com o número 33324. Primeitamente vamos observar o número: 33324, bom , o critério de divisiblidade diz que, se os 2 ultimos algarismos da direita do número for divisível por 4, então o número todo é divisível por 4. logo 33324/4 é 8331.

Divisibilidade por 5

Essa é a que dá menos trabalho. Um número é divisível por 5, quando termina com o algarismo 0 ou 5. Logo observamos que o número 225 é divisível por 5, pois termina com o algarismo 5, então 225 / 5 = 45. Um outro exemplo é com o número 880. Observando o número 880, logo vemos que o mesmo termina com algarismo 0, então temos 880 / 5 = 176.


Divisibildade por 6


Se você lembra quais são os critérios de divisibilidade por 2 e por 3, então você vai saber com clareza e confiança quais são os números que podem ser divididos por 6, resultando em um quociente exato. Para um número ser divisível por 6, (quociente exato) ele deve ser divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
Vamos iniciar um exemplo com número 426. Vemos com muita certeza que o número 426 é par, logo é divisível por 2. Agora vamos a soma de seus algarismos (divisibilidade por 3) 4 + 2 + 6 = 12, o número 12, com clareza vemos que é múltiplo de 3, logo 426 é divisível por 3, com essas informações observamos que: se o número 426 é divisível por 2 e por 3, logo, também é divisível por 6.
Um outro exmplo: O número 3558 é divisível por 6?
A priori observamos que o número é par, logo é divisível por 2. Agora vamos a soma de seus algarismos: 3 + 5 + 5 + 8 = 21, bom, o número 21 é múltiplo de 3, logo observamos com certeza, que o número 3558 é divisível por 3. Ai com todo seu conhecimento e confiança, já concluiu que o número 3558 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.

Em breve, os critérios de divisibilidade por 8 e por 10.

Divisibilidade

Muitas vezes nos deparamos com algumas divisões, que não sabemos se o resultado é exato (número inteiro) ou um número decimal. Por isso, aqui vai duas dicas:

Divisibilidade por 2:

Um número é divisivel por dois quando termina em 0, 2, 4, 6, 8, ou seja, quando o número for par, Por exemplo: 246 é um número divisível por 2 (246/2=123), pois termina com o algarismo 6, também podemos concluir, que o número 2 é divisor de 246. O número 561, não é divisivel por 2, pois termina com o algarismo 1, e um outro detalhe muito interessante, é que o número 561 é ímpar, e números impares dividido por 2, não resulta em um quociente inteiro e sim um decimal.

Divisibilidade por 3:

Um número é divisivel por 3, quando a soma de seus algarismos for um múltiplo de 3. Observe o número 285, a soma de seus algarismos,
2 + 8 + 5 = 15, o número 15 é múltiplo de 3, portanto o número 285 é divisível por 3, e também podemos concluir que o número 3 é divisor do número 285. Um outro exemplo: O número 361 é divisível por 3? A resposta é não, pois a soma de seus algarismos, 3 + 6 + 1 = 10, e o número 10 não é múltiplo de 3, portanto o número 361 não é divisível por 3.

Atenção, essas dicas são mais interessantes, quando utilizadas com números naturais.

O corpo em números

Observar o corpo humano sob o aspecto numérico também é uma maneira de conhecê-lo melhor. Respeitando a individualidade de cada ser e considerando os valores médios , podemos destacar alguns números do corpo humano.

Veias e artérias

São 97 000 quilômetros de veias, artérias e vasos capilares. Se fossem alinhados, eles dariam 2,5 voltas em torno da terra. As artérias menores se contraem e relaxam num período entre 2 e 8 segundos. As plaquetas sangüíneas – moléculas responsáveis pela coagulação – vivem apenas dez dias.

Cérebro e neurônios

O cérebro do homem pesa cerca de 1,4 quilo e o da mulher 1,25 quilo e abriga 25 bilhões de neurônios. Eles ficam fixos na camada superficial, chamada córtex, que tem apenas 1,3 a 1,4 milímetro de espessura. As suas “pernas” (axônios), que transmitem os sinais elétricos, podem ter até 1 metro. A velocidade do impulso nervoso varia conforme a espessura das fibras nervosas e sua função: as sensações de pressão e tato passam por fibras de 8 micrometros (1 metro dividido por 1 milhão), a uma velocidade de 50 metros por segundo. Já a dor e a temperatura viajam por fibras de apenas 3 micrometros, a 15 metros por segundo.

Fonte: Matemática Volume único, Benigno Barreto Filho, Cláudio Xavier Barreto. São Paulo: FTD, 2000.

Multiplicar um número por 11

Quando o número for de 2 algarismos, basta somar esses 2 algarismos e colocar o resultado no meio deles.
Veja:
Temos o número 36, somando seus 2 algarismos temos 3+6=9. ok! Agora é só colocar o número 9 no meio deles:Resposta é 396. Então, 36 x 11 = 396.

Um outro exemplo, agora com número 41, somando seus algarismos tem 4+1=5, certo? Agora é só colocar o número 5 no meio deles, assim: 451.
Resposta é 451. Logo 41 x 11= 451

Veja outros exemplos:

72 x 11 = 792
25 x 11 = 275
35 x 11 = 385

Agora observe a multiplicação: 84 x 11.

Somamos os algarismos 8 + 4 = 12, porém, o valor encontrado é maior que 9, assim não podemos colocar o número todo no meio deles. Colocamos apenas o algarismo das unidades, no caso o número 2 no meio deles, e o algarismo das dezenas, no caso o número 1, somamos ao primeiro algarismo do número, 8+1 = 9. logo 84 x 11 = 924

Outros exemplos:

74 x 11 = 814
93 x 11 = 1023
88 x 11 = 968

Quando o número for de 3 algarismos, multiplicado este número por 11, o resultado é um número de 4 algarismos.
Vamos efetuar a seguinte multiplicação: 243 x 11.
Temos o número 243. Somando o 1º com o 2º algarismo desse número temos 2+4=6. Somando o 2º com o 3º algarismo desse número temos 4+3=7. Esses 2 resultados serão colocados no meio do número 243, tirando o seu algarismo do meio: 2673. Logo 243 x 11 = 2673.

Veja outros exemplos:

815 x 11 = 8965
726 x 11 = 7986
351 x 11 = 3861
835 x 11 = 9185



“A Matemática, quando a compreendemos bem, possui não somente a verdade, mas também a suprema beleza. (Bertrand Russel)”

Funções e Equações

Função em Matemática significa “qualquer correspondência entre dois ou mais conjuntos”, enquanto “equação é qualquer igualdade entre seres matemáticos que só é satisfeita para alguns valores dos respectivos domínios” (Dicionário Aurélio Eletrônico). Em outras palavras, função é uma relação matemática entre duas variáveis; a cada valor atribuído, ou assumido, por uma delas, corresponde um (ou mais) valores assumidos pela outra. A expressão x = 2 + 5t é uma função, pois, a cada valor de t, corresponde a um valor de x. Outro exemplo é v² = x, função em que, a cada valor positivo de x, correspondem dois valores de v. Em ambas as expressões, existem infinitos conjuntos de valores de t e x em x = 2 + 5t, e de x e v em v² = x, que satisfazem a igualdade. Isso é o que distingue função de equação. A equação é uma igualdade que só pode ser satisfeita por um número limitado de valores. Assim, a expressão x + 2 = 7 é uma equação, pois a igualdade só pode ser satisfeita para x = 5.
Quando se atribui um determinado valor a uma das variáveis de uma função, ela se torna uma equação. Atribuindo-se a t o valor 4, por exemplo, na função x = 2 + 5t, ela se torna a equação x = 22. Na função v² = x, quando x assume o valor 9, obtém-se a equação v² = 9, só satisfeita pelos valores v = +3 ou v = -3.

Matemática na linguagem do dia-dia

Alguns jornais brasileiros publicam a coluna semanal de Pasquale Cipro Neto, conhecido professor e autor da área de Língua portuguesa. Um de seus artigos do ano 2000 tratou daquilo que ele apelidou de “portumática”, isto é, da expressão de idéias matemáticas na língua usada em nosso dia-dia. Foram comentados alguns casos saborosos, nos quais a maneira de falar ou escrever agride a lógica e a Matemática. Vejamos alguns exemplos:

(...) O repórter faz uma matéria sobre preços. Vai a uma loja e constata que lá a mercadoria custa R$ 90,00. Em outra loja, custa R$ 30,00. Incontinenti dispara: “Na segunda loja, o produto custa três vezes menos”.

Pois bem. Se custasse uma vez menos, já custaria zero, é claro. Portanto, se aqui custa x e lá custa três vezes menos, o cidadão não põe a mão no bolso e, ainda por cima, sai da loja com o produto e com dinheiro suficiente para comprar mais dois.
Percebeu o que ocorre? Na loja que vende por menos, o produto custa um terço do que custa na outra, e não três vezes menos. Afinal, 30 é 1/3 de 90, e não três vezes menos. Naquela em que custa R$ 90,00, custa o triplo, e não três vezes mais. Se custa três vezes mais, seu preço é R$ 120,00 (30 + três vezes 30). É por isso que só se pode rir quando se ouve que algo diminuiu 150% ou que em outro lugar tal coisa custa x vezes menos.

Um outro comentário refere-se a uma questão de exame vestibular que se tornou famosa. Perguntava-se quanto é o quadrado de 10%. Vejamos:

Antes de ser de Matemática – ou Física, Química, Biologia -, qualquer questão é de texto. Os apressadinhos ou distraídos vão logo dizendo que a resposta é 100%. Afinal, o quadrado de um número é ele multiplicado por ele. Esquecem-se de um detalhe lingüístico-matemático: 10% é diferente de 10. A preposição “por” da expressão “por cento” estabelece a idéia de relação, ou seja, 10% significa 10 em relação a 100, que, como se sabe, equivale a 1/10 (um décimo). Então o quadrado de 10% é o quadrado de 1/10 (um décimo). Faça a conta, o resultado? 1/100 (um centésimo) 1 em relação a 100, ou seja 1%.

Muito bem! A capacidade “de raciocínio lógico ou de algo equivalente” deve ser valorizada por que é necessária por toda nossa vida. Essa capacidade é desenvolvida não só pelo aprendizado da Matemática, mas também pela leitura, analise e produção de textos. E um bom exemplo de analise de texto é o próprio texto do artigo aqui apresentado.
E você, internauta? Sua capacidade de raciocínio lógico foi estimulada por esse texto? Que tal fazer um teste? Basta responder três questões. Mas cuidado! São três questões “espertas”!

1. Um produto sofreu um aumento equivalente a 3 vezes seu preço antigo. Agora custa R$ 20,00. Quanto custava antes?
2. De quanto por cento foi o aumento referido na questão 1?
3. E leve ao quadrado esse aumento e expresse o resultado na forma de porcentagem.

Em breve veremos como se saiu no teste.

Fonte: Matemática para todos, 2. ed. Luiz Márcio Imenes & Marcelo Cestari Lellis. São Paulo: Scipione, 2006.

Os filósofos gregos

Aristóteles (384-322 a.C) foi o mais importante dos filósofos gregos. Até o século XVII quase todo o conhecimento científico se baseava na sua obra.
Os gregos foram os primeiros pensadores - pessoas que se dedicavam à busca da verdade - que se definiram como filósofos, amantes da sabedoria, em grego. Os primeiros filósofos gregos surgiram no século VII a.C. Foram também os primeiros cientistas, aqueles que procuravam entender a natureza sem recorrer ao sobrenatural, às divindades ou à magia.

Fonte: Física, Mecânica - Alberto Gaspar - Editora Ática